一、线性回归的决定系数\(R^2\)（也称为判定系数，拟合优度）

相关系数是R哈~~~就是决定系数的开方！

正如题所说决定系数\(R^2\)是来衡量回归的好坏，换句话说就是回归拟合的曲线它的拟合优度！也就是得分啦~~

决定系数它是表征回归方程在多大程度上解释了因变量的变化，或者说方程对观测值的拟合程度如何。

计算公式为：

设\(y\)为待拟合数值，均值为\(\bar y\)，拟合值为\(\hat{y}\)，记：

总平方和（SST）：\(\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar y)^2\)

 

回归平方和（SSR）：\(\sum_{i=1}^{n} (\hat y_i - \bar y)^2\)

 

残差平方和（SSE）：\(\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat y_i)^2\)

 

则有：SST = SSR + SSE

 

 

决定系数\(R^2\):

 

\(R^2 = {SSR \over SST} = {{\sum_{i=1}^{n} (\hat y_i - \bar y)^2} \over {\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar y)^2}} = 1 - {SSE \over SST}\)

决定系数越大表拟合优度越好！

Python中可直接调用score()方法来计算决定系数\(R^2\)。

score(self, x_test, y_test, sample_weight=None)

二、分类问题中的评判标准

以二分类问题为例进行说明。分类结果的混淆矩阵如下表所示。

准确率、精确率：

\(accuracy = {{TP + TN} \over {TP + TN + FP +FN}}\)

精准率，查全率：

\(precision = {TP \over {TP + FP}}\)

召回率、查全率：

\(recall = {TP \over {TP + FN}}\)

调和平均数f1_score：

\(F_1 = 2 \cdot {{precision \cdot recall} \over {precision + recall}}\)

P-R曲线

将查准率P作为纵轴，查全率R作为横轴，在坐标轴上绘制出这些P-R数组，再连成曲线，即可得到相应的P-R曲线图。

从图上所示，不同的算法，对应着不同的P-R曲线。如图所示，我们有A，B，C三条曲线。通常，我们认为如果一条曲线甲，能够被另一条曲线乙包住，则认为乙的性能优于甲。在上图所示，就是曲线B的性能要高于曲线C。但是A和B发生了交叉，所以不能判断出A、B之间哪个算法更优。 比较两个分类器好坏时，显然是查得又准又全的比较好，也就是的PR曲线越往坐标（1，1）的位置靠近越好。因此，在图上标记了“平衡点（Break-Even Point，简称BEPBEP）”。它是“查准率=查全率”时的取值，同时也是我们衡量算法优劣的一个参考。
 

ROC曲线 （受试者操作特征(Receiver Operating Characteristic)，roc曲线上每个点反映着对同一信号刺激的感受性） 
对于0,1两类分类问题，一些分类器得到的结果往往不是0,1这样的标签,如神经网络,得到诸如0.5,0,8这样的分类结果。这时,我们人为取一个阈值,比如0.4,那么小于0.4的为0类,大于等于0.4的为1类,可以得到一个分类结果。同样,这个阈值我们可以取0.1,0.2等等。取不同的阈值,得到的最后的分类情况也就不同。

如下面这幅图：

蓝色表示原始为负类分类得到的统计图,红色为正类得到的统计图。那么我们取一条直线,直线左边分为负类,右边分为正,这条直线也就是我们所取的阈值。 阈值不同,可以得到不同的结果,但是由分类器决定的统计图始终是不变的。这时候就需要一个独立于阈值,只与分类器有关的评价指标,来衡量特定分类器的好坏。 还有在类不平衡的情况下,如正样本90个,负样本10个,直接把所有样本分类为正样本,得到识别率为90%。但这显然是没有意义的。 
如上就是ROC曲线的动机。 

ROC空间将假正例率（False Positive Rate, 简称FPR）定义为 X轴，真正例率（True Positive Rate, 简称TPR）定义为 Y 轴。这两个值由上面四个值计算得到,公式如下: 
TPR：在所有实际为正例的样本中，被正确地判断为正例之比率。 

\(TPR = {TP \over {TP+FN}}\)

FPR：在所有实际为反例的样本中，被错误地判断为正例之比率。 

\(FPR = {FP \over {FP+TN}}\)

我们以FPR为横轴,TPR为纵轴,得到如下ROC空间。 

我们可以看出,左上角的点(TPR=1,FPR=0)(TPR=1,FPR=0),为完美分类。曲线距离左上角越近,证明分类器效果越好。点A(TPR>FPR)表明判断大体是正确的。中线上的点B(TPR=FPR)表明判定一半对一半错（这种最垃圾~~）;下半平面的点C(TPR<FPR)说明判定大体错误。
 

如上,是三条ROC曲线,在0.23处取一条直线。那么,在同样的低FPR=0.23的情况下,红色分类器得到更高的PTR。也就表明,ROC越往上,分类器效果越好。我们用一个标量值AUC来量化它。

AUC(Area Under ROC Curve) 

auc其实就是ROC曲线围成的面积！！
在两个分类器的ROC曲线交叉的情况下，无法判断哪个分类器性能更好，这时可以计算ROC曲线下面积AUC，作为性能度量，面积越大则越好。 

为什么使用Roc和Auc评价分类器 
既然已经这么多标准，为什么还要使用ROC和AUC呢？因为ROC曲线有个很好的特性：当测试集中的正负样本的分布变换的时候，ROC曲线能够保持不变。在实际的数据集中经常会出现样本类不平衡，即正负样本比例差距较大，而且测试数据中的正负样本也可能随着时间变化。下图是ROC曲线和Presision-Recall曲线的对比： 
 

在上图中，(a)和(c)为Roc曲线，(b)和(d)为P-R曲线。

(a)和(b)展示的是分类其在原始测试集(正负样本分布平衡)的结果，(c)(d)是将测试集中负样本的数量增加到原来的10倍后，分类器的结果，可以明显的看出，ROC曲线基本保持原貌，而Precision-Recall曲线变化较大。

以上的Python代码实现大家可以参考这位的博客：https://www.jianshu.com/p/28ef55b779ca

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